La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el limite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
¿Cuales son sus aplicaciones?
Extremos relativos.
La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≥ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.
Para f tiene un mínimo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≤ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.
Un extremo relativo, significa un máximo relativo o un mínimo relativo.
Aceleración, concavidad, y la derivada segunda
Aceleración
La aceleración de un objeto en movimiento es la derivada de su velocidad: esto es, la segunda derivada (derivada de la derivada) de su función de posición.
La aceleración de un objeto en movimiento es la derivada de su velocidad: esto es, la segunda derivada (derivada de la derivada) de su función de posición.
Concavidad
Una curva es cóncava hacia arriba si su pendiente es creciente, en cuyo caso la derivada segunda es positiva. Una curva es cóncava hacia abajo si su pendiente es decreciente, en cuyo caso la derivada segunda es negativa. Un punto donde la gráfica de f cambia de estar cóncava hacia arriba a estar cóncava hacia abajo , o viceversa, se llama un punto de inflexión. a un punto de inflexión, la segunda derivada puede ser cero o indefinida.
Una curva es cóncava hacia arriba si su pendiente es creciente, en cuyo caso la derivada segunda es positiva. Una curva es cóncava hacia abajo si su pendiente es decreciente, en cuyo caso la derivada segunda es negativa. Un punto donde la gráfica de f cambia de estar cóncava hacia arriba a estar cóncava hacia abajo , o viceversa, se llama un punto de inflexión. a un punto de inflexión, la segunda derivada puede ser cero o indefinida.
Elasticidad de demanda.
La elasticidad de demanda, E, es la tasa porcentual de disminución de la demanda por aumento porcentual en el precio. Lo calculamos con la formula:
| E | = | - |  dp | . | q | . |
donde la ecuación de demando expresa demando, q, como una función del precio unitario, p. Decimos que la demanda es elástica si E > 1, la demanda es inelástica si E < 1, y que la demanda tiene elasticidad unitaria si E = 1.
Para calcular el precio unitario que maximiza el ingreso, escribimos E como un función de p, conjuntamos E = 1, y despejemos a p.
Ejemplos.
Extremos relativos.
Sea
- f(x) = x2 - 2x, con dominio [0, 4].
Aquí es su gráfica.
Mirando la gráfica, se observa que f tiene:
- Un máximo relativo a (0, 0);
- Un mínimo relativo a (1, - 1);
- Un máximo relativo a (4, 8).
Aceleración, concavidad y la derivada segunda.
Aceleración
Si t es tiempo en horas y la posición de un carro en el momento t es s(t) = t3 + 2t2 km, entonces:
Si t es tiempo en horas y la posición de un carro en el momento t es s(t) = t3 + 2t2 km, entonces:
- Velocidad = v(t) = s'(t) = 3t2 + 4t km por hora.
Aceleración = a(t) = s" (t) = 6t + 4 km por hora por hora.
Concavidad
Considere f(x) = x3 - 3x, cuya gráfica se ve más abajo.
Considere f(x) = x3 - 3x, cuya gráfica se ve más abajo.
f"(x) = 6x es negativa cuando x < 0 y positiva cuando x > 0. La gráfica de f es cóncava hacia abajo cuando x < 0 y cóncava hacia arriba cuando x > 0. f tiene un punto de inflexión a x = 0, donde la segunda derivada es 0.
Elasticidad de demanda.
Supone que la ecuación de demanda es q = 20,000 - 2p. Entonces
| E | = | - (- 2) | 20,000- 2p | = | 10,000- p |
Si p = 2,000, entonces E = 1/4, y la demanda es inelástica a este precio.
Si p = 8,000, entonces E = 4, y la demanda es elástica a este precio.
Si p = 5,000, entonces E = 1, y la demanda tiene elasticidad unitaria a este precio.
